PENGUKURAN PENYIMPANGAN

(RANGE, DEVIASI, VARIAN)

Pengukuran penyimpangan adalah suatu ukuran yang menunjukkan tinggi rendahnya perbedaan data yang diperoleh dari rata-ratanya. Ukuran penyimpangan digunakan untuk mengetahui luas penyimpangan data atau homogenitas data. Dua variabel data yang memiliki mean sama belum tentu memiliki kualitas yang sama, tergantung dari besar atau kecil ukuran penyebaran datanya.Macam-macam pengukuran penyimpangan yang sering digunakan adalah rentangan (range), rentangan antar kuartil, rentangan semi antar kuartil, simpangan rata-rata, simpangan baku, varians, koefisien varians, dan angka baku, namun yang umum digunakan adalah standar deviasi.

RANGE

Range adalah perbedaan antara data terbesar dengan data terkecil yang terdapat pada sekelompok data. Range adalah salah satu ukuran statistik yang menunjukan jarak penyebaran data antara nilai terendah (Xmin) dengan nilai tertinggi (Xmax). Ukuran ini sudah digunakan pada pembahasan daftar distribusi frekuensi.Jarak atau kisaran nilai (range) merupakan ukuran paling sederhana dari ukuran penyebaran. Jarak merupakan perbedaan antara nilai terbesar dan nilai terkecil dalam suatu kelompok data baik data populasi atau sampel. Semakin kecil ukuran jarak menunjukkan karakter yang lebih baik, karena berarti data mendekati nilai pusat dan kompak.

a) Range Untuk Data Tidak Berkelompok

Rumus untuk data tidak berkelompok adalah sebagai berikut :

Jarak (range) = Nilai Terbesar – Nilai Terkecil

Contoh :
 Berikut ini nilai ujian semester dari 3 mahasiswa
A = 60 55 70 65 50 80 40
B = 50 55 60 65 70 65 55
C = 60 60 60 60 60 60 60
 Dari data diatas dapat diketahui bahwa
A = memiliki Xmax=80, Xmin= 40 , R = 40 , meanya 60
B = memiliki Xmax=70, Xmin= 50 , R = 20 , meanya 60
C = memiliki Xmax=60, Xmin= 60 , R = 0 , meanya 60
 Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa :
a. Semakin kecil rangenya maka semakin homogen distribusinya
b. Semakin besar rangenya maka semakin heterogen distribusinya
c. Semakin kecil rangenya, maka meannya merupakan wakil yang representatif
d. Semakin besar rangenya maka meannya semakin kurang representatif

b) Range Untuk Data Berkelompok

Rumus Range untuk data berkelompok adalah sebagai berikut:

Range = batas atas kelas tertinggi – batas bawah kelas terendah

Contoh:

berikut ini adalah data yang sudah dikelompokkan dari harga saham pilihan pada bulan Juni 2007 di BEJ. Hitunglah Range dari data tersebut.

	Harga saham
1	160 – 303	2
2	304 – 447	5
3	448 – 591	9
4	592 – 735	3
5	736 – 878	1

Penyelesaian:

Range = batas atas kelas tertinggi – batas bawah kelas terendah

= 878 – 160

= 718

DEVIASI

Deviasi rata-rata adalah rata-rata penyimpangan data-data dari rata-rata (mean)-nya. Di dalam menghitung deviasi rata-rata harus kita cari rata-rata dari harga mutlak selisih antara tiap-tiap data dengan meannya. Harga mutlak adalah nilai dengan tidak memandang positif atau negatif, semuanya dianggap positif. Harga mutlak dari X biasanya ditulis dengan │X│.

a) Deviasi Untuk Data Tidak Berkelompok

Rumus Deviasi untuk data tidak berkelompok adalah sebagai berikut:

Contoh :

data sebagai berikut:

8 17 22 10 13

Mean-nya = ( 8 + 17 + 22 + 10 +13 )/5 = 14.

Dengan demikian rata-rata selisih data-data itu terhadap mean (tanpa diabaikan tanda positif dan negatifnya) sebagai berikut:

MD = (8-14) + (17-14) + (22-14) + (10-14) + (13-14)/5

= (-6) + 3 + 8 + (-4) + (-1)/5

= 0

Oleh karena itu, dicari terlebih dahulu harga mutlaknya seperti pada rumus di atas. Sehingga besarnya deviasi rata-rata sebagai berikut:

Deviasi rata-rata = │8-14│+ │17-14│ + │22-14│ + │10-14│ + │13-14│/5

= (6 + 3 + 8 + 4 + 1)/5

= 22/5 = 4,4.

b) Deviasi Untuk Data Berkelompok

Rumus Deviasi untuk data berkelompok adalah sebagai berikut:

Varians Dan Standar Deviasi

Varians dan Standar deviasi adalah sebuah ukuran penyebaran yang menunjukkan standar penyimpangan atau deviasi data terhadap penyimpangan rata-ratanya. Varians adalah rata-rata hitung deviasi kuadrat setiap data terhadap rata-rata hitungnya. Standar Deviasi adalah akar kuadrat dari varians dan menunjukkan standar penyimpangan data terhadap nilai rata-ratanya.

a) Varians Dan Standar Deviasi Untuk Data Tidak Berkelomok

Rumus Varians untuk data tidak berkelompok adalah sebagai berikut:

Rumus Standar Deviasi untuk data tidak berkelompok adalah sebagai berikut:

b) Varians Dan Standar Deviasi Untuk Data Berkelompok

Rumus Varians untuk data berkelompok adalah sebagai berikut:

Rumus Standar Deviasi untuk data berkelompok adalah sebagai berikut:

NILAI SENTRAL

A.        PENGUKURAN NILAI SENTRAL

Nilai sentral atau nilai rata-rata juga disebut nilai tengah dari sekumpulan data statistik adalah suatu nilai dalam kumpulan atau rangkaian data yang dapat mewakili kumpulan atau rangkaian data tersebut.Pengukuran nilai sentral dibedakan menjadi 2 kelompok, yaitu :1.        Un-Group Data (Data tidak berkelompok)2.        Group Data (Data berkelompok)

B.       JENIS-JENIS NILAI SENTRAL

a.    MEAN (NILAI TENGAH)

Mean adalah Nilai Rata-rata yang didapat dari hasil penjumlahan seluruh nilai dari masing-masing data, kemudian dibagi dengan banyaknya data yang ada. Mean di bagi menjadi dua yaitu mean yang belum dikelompokan dan mean yang sudah dikelompokan.

Rumus :

v  Mean yang belum dikelompokan :

Keterangan :

Hasil ulangan mata pelajaran IPS yang didapat dari salah seorang murid, selama 1 semester, adalah:
7.8 , 8 , 7, 7.5 , 6 , 7 , 8.5 , 8 , 7.5 , 8 , 6 , 7
Berapa nilai rata-rata (Mean), Modus dan Median dari data tunggal diatas?
Jawab:

Mean = (7.8 + 8 + 7+ 7.5 + 6 + 7 + 8.5 + 8 + 7.5 + 8 + 6 + 7) : 12

Mean = 88,3 : 12
Mean = 7,35
Nilai rata-rata (Mean) yang didapat murid tersebut adalah: 7,35

v  Mean yang sudah dikelompokan :

Data Hasil Nilai ujian mata pelajaran IPA yang didapat murid kelas VI yang berjumlah sebanyak 30 orang, adalah sebagai berikut:  ·         Yang mendapat nilai 41 - 50, sebanyak 3 orang
·         Yang mendapat nilai 51 - 60, sebanyak 6 orang
·         Yang mendapat nilai 61 - 70, sebanyak 8 orang
·         Yang mendapat nilai 71 - 80, sebanyak 9 orang
·         Yang mendapat nilai 81 - 90, sebanyak 4 orang
Berapa Mean dari data Kelompok diatas?Rumus menghitung Mean dari Data Kelompok, adalah:

Rumus Mean data Kelompok

»      fi   =  Frekuensi
»      xi   = Nilai Tengah
Nilai Tengah adalah penjumlahan nilai tepi bawah (Nilai terendah) dengan Nilai tepi atas (Nilai tertinggi) dari masing-masing kelompok nilai, kemudian dibagi dua.v  Nilai tengah 41-50, adalah: (41+50) : 2, sama dengan 45,5
v  Nilai tengah 51-60, adalah: (51+60) : 2, sama dengan 55,5
v  Nilai tengah 61-70, adalah: (61+70) : 2, sama dengan 65,5
v  Nilai tengah 71-80, adalah: (71+80) : 2, sama dengan 75,5
v  Nilai tengah 81-90, adalah: (81+90) : 2, sama dengan 85,5
Kemudian, untuk lebih mempermudah perhitungan, data-data tersebut diatas kita susun kedalam sebuah Tabel, seperti berikut ini:

Maka, dari data Tabel diatas, diperoleh: Mean = (∑fi . xi ) : ∑fi Mean = 1925 : 30Mean = 64,167
Jadi, Nilai Rata-rata (Mean) dari hasil ujian mata pelajaran IPS seluruh murid kelas VI adalah: 64,167

b.    MEDIAN

Median adalan Nilai tengah dari kumpulan data yang telah diurutkan, jika jumlah data Ganjil maka Nilai Median adalah satu nilai yang berada ditengah urutan, namun jika jumlah data Genap maka Mediannya adalah hasil penjumlahan dua nilai yang berada ditengah urutan data, kemudian hasilnya dibagi dua.Sifat nilai median:

1)        Median mudah dihitung dan mudah dimengerti,

2)        Dipengaruhi jumlah observasi,

3)        Tidak dipengaruhi oleh nilai observasi,

4)        Sering dipakai pada distribusi frekuensi yang miring,

5)        Digunakan pada data yang bersifat kuantitatif maupun kualitatif berskala ratio, interval maupun ordinal,

6)        Untuk menentukan nilai median harus terlebih dahulu diurutkan dan ditentukan posisi dengan cara : Bila seri pengamatan genap, maka posisi median n/2 dan bila seri pengamatan ganjil, maka posisi median n+1 / 2.

 Median bisa dihitung menggunakan rumus sebagai berikut:

v  Median data tunggal :

Untuk menentukan Median, maka data diatas harus kita urutkan terlebih dahulu dari yang terkecil sampai yang terbesar, sebagai berikut:

8.5 , 8.5 , 9 , 9 , 9 , 9 , 9 , 9.5 , 9.5 , 10 , 10 , 10

Setelah data diurutkan, maka selanjutnya kita dapat mencari Nilai tengah dari data tersebut, dan karena banyaknya data jumlahnya Genap (12), maka nilai tengah menjadi dua nilai, yaitu nilai 9 dan 9.

Median = (9 + 9) : 2

Median = 18 : 2

Median = 9

v  Median data kelompok

Untuk mencari nilai Median dari Data Kelompok,terlebih dahulu kita menentukan dimana Median itu berada dari Data kelompok diatas, dengan perhitungan:

n / 2

n =  Jumlah frekuensi, dalam hal ini frekuensinya adalah jumlah seluruh murid kelas VI, yaitu 40 orang.

n/2 = 30/2 = 15

Jadi Median diketahui berada pada frekuensi yang ke-15, yakni yang mendapat nilai 61-70.
Kemudian kita bisa menentukan Median, dengan rumus:

Rumus Median data Kelompok

 »        Tb: Tepi bawah dari kelompok yang didapat dari n/2»        F: Jumlah Frekuensi sebelum kelompok Median
»        fm: Frekuensi kelompok Median
»        I: Interval
Median = 60,5 + [{(15 – 13) : (7)} x 10] Median = 60,5 + {(2 : 7) x 10} Median = 60,5 + (0,2857 x 10) Median = 60,5 + 2,857Median = 63,357

c.    MODUS

Modus adalah Data atau nilai yang paling sering muncul atau yang memiliki jumlah frekuensi terbanyak. Sifat modus adalah:

v  Tidak dipengaruhi nilai ekstrim,
v  Digunakan baik pada data kualitatif (nominal dan ordinal) maupun data kuantitatif (interval dan rasio).
 

Rumus untuk modus yaitu :

Ø  Modus data tunggal6.5 , 6.5 , 7 , 7 , 7 , 7 , 8 , 8 , 8 , 8 , 8 , 8Modus adalah nilai yang paling sering muncul, dan dari data diatas, didapat bahwa data nilai yang sering muncul adalah nilai 8, sebanyak 6 kali.Modus = 8 Ø  Modus data kelompok
Untuk menentukan nilai Modus pada suatu data kelompok, terlebih dahulu kita harus mencari nilai Frekuensi yang paling banyak untuk menentukan kelompok Modus, dari data diatas dapat dilihat bahwa frekuensi yang paling banyak adalah pada Interval nilai 51-60, yaitu sebanyak 8 orang.Selanjutnya kita bisa menentukan nilai Modus, dengan rumus perhitungan dibawah ini:

Rumus menghitung Modus Data Kelompok

»        Tb: Tepi bawah kelompok dengan frekuensi terbanyak (Kelompok Modus)
»        ∆f1: Selisih jumlah Frekuensi kelompok Modus dengan jumlah frekuensi kelompok sebelumnya
»        ∆f2: Selisih jumlah Frekuensi pada kelompok Modus dengan jumlah frekuensi sesudahnya
»        I: Interval
∆f1: 8 - 5 = 3
∆f2: 8 - 7 = 1
Modus = 50,5 + [{3 : (3 + 1)} x 10]
Modus = 50,5 + (3/4 x 10)
Modus = 50,5 + 7,5
Modus = 58∆f2: 8 - 7 = 1 Modus = 50,5 + [{3 : (3 + 1)} x 10] Modus = 50,5 + (3/4 x 10) Modus = 50,5 + 7,5Modus = 58