NAMA       : Muh Alfrizhan Viraldi

NPM           : 17 630 036

TUGAS 5   : STATISTIK/PROBABILITAS

UJI BEDA RATA-RATA

Uji t dua sampel/kelompok seperti materi yang pernah dibuat mengenai uji t dua sampel dibagi kedalam dua jenis yaitu uji t dua sampel/kelompok independent (bebas) dan uji t dua sampel dependent (berpasangan). sebelumnya juga sudah dibuat mengenai uji t dua sampel/kelompok independent (bebas). Nah, kali ini akan dibahas tentang uji t berpasangan. uji t berpasangan tentu saja digunakan apabila dua kelompok tersebut saling berhubungan. Dua sampel berpasangan artinya sampel dengan subjek yang sama namun mengalami dua perlakuan atau pengukuran yang berbeda.

Kapan menggunakan Uji t sampel/kelompok dependent (berpasangan)?

1.      uji komparasi antar dua nilai pengamatan berpasangan, misalnya: sebelum dan sesudah

2.      digunakan pada uji parametrik dimana syaratnya sebagai berikut:

o    satu sampel (setiap elemen mempunyai 2 nilai pengamatan)

o    merupakan data kuantitatif (rasio-interval)

o    berasal dari populasi dgn distribusi normal (di populasi terdapat distribusi difference = d yang berdistribusi normal dengan mean μd=0 dan variance =1)

Contoh Kasus uji t sampel/kelompok berpasangan:

1. Apakah terdapat perbedaan berat badan (kg) antara sebelum puasa dan sesudah puasa selama satu bulan?
2. Apakah terdapat perubahan skor pengetahuan tentang gizi antara sebelumdan sesudah penyuluhan gizi?
3. Apakah terdapat perbedaan kadar kolesterol dalam darah (mg%) yg diperiksa oleh dua alat yang berbeda?

Pada contoh no 1 dan 2 diatas terlihat bahwa yang diuji satu individu tapi dengan dua perlakuan yang berbeda yaitu sebelum dan sesudah. pada contoh no3 juga hampir sama yaitu menguji perbandingan kadar kolesterol dengan dua alat yang berbeda.

Hipotesis dalam uji t dua sampel/kelompok:

1.      Uji dua arah. pada hipotesis awal tidak terdapat perbedaan yang signifikan antara rata-rata1 dan rata-rata2.sedangkan pada hipotesis alternatif sebaliknya yaitu terdapat perbedaan rata-rata 1 dan rata-rata 2.

H₀ : µ₁ = µ₂

H₁ : µ₁ ≠ µ₂

2.      Uji satu arah dimana pada hipotesis awal kelompok/sampel 1 memiliki rata-rata sama dengan atau lebih besar dengan rata-rata kelompok 2. sedangakan hipotesis alternatif rata-rata kelompok 1 lebih kecil dibandingkan dengan rata-rata kelompok 2.

H₀ : µ_{1 ≥} µ₂

H₁ : µ₁ < µ₂

_3.        Uji satu arah ini kebalikan pada hipotesis kedua, dimana pada hipotesis awal kelompok/sampel 1 memiliki rata-rata sama dengan atau lebih kecil dengan rata-rata kelompok 2. sedangakan hipotesis alternatif rata-rata kelompok 1 lebih besar dibandingkan dengan rata-rata kelompok 2.

H₀ : µ_{1 ≤} µ₂

H₁ : µ₁ >µ₂

Hipotesis awal ditolak, bila:
|t hitung| > t tabel
atau:
Hipotesis awal diterima, bila:
|t hitung| <= t tabel 

Statistik hitung (t hitung):

Dimana:

Keterangan :

D = Selisih x1 dan x2 (x1-x2)

n = Jumlah Sampel

X bar = Rata-rata

S d = Standar Deviasi dari d.

Langkah-langkah pengujian signifikansi (hipotesis) dalam Pengujian Perbedaan Rata‐rata Dua kelompok berpasangan:

1. Tetapkan H0 dan H1
2. Tetapkan titik kritis (tingkat kepercayaan 95 %) atau (tingkat kepercayaan 99 %) yang terdapat pada tabel “t”.
3. Tentukan daerah kritis, dengan db = n -1.
4. Tentukan t hitung dengan menggunakan rumus.
5. Lakukan uji signifikansi dengan membandingkan besarnya “ t” hitung dengan “t” tabel.

Contoh Kasus dalam pengerjaan pengujian signifikansi (hipotesis)
Suatu kegiatan penelitian eksperimental, telah berhasil menemukan metode “ABG” sebagai metode baru untuk mengajarkan mata kuliah Statistika II. Dalam rangka uji coba terhadap efektifitas atau keampuhan metode baru itu, dilaksanakan penelitian lanjutan dengan mengajukan Hipotesis Nol (Nihil) yang mengatakan : Tidak terdapat perbedaan yang signifikan nilai Statistika II antara sebelum dan sesudah di terapkannya metode “ABG” sebagai metode mengajar mahasiswa UIB sem 6. Dalam rangka pengujian ini diambil sampel sebanyak 20 mahasiswa. Gunakan taraf kepercayaan 95 % (alfa=5% ) untuk menguji pernyataan (Hipotesis) tersebut.

Datanya Sebagai berikut:

Nama	Nilai Statistika II
	Sebelum	Sesudah
A	78	75
B	60	68
C	55	59
D	70	71
E	57	63
F	49	54
G	68	66
H	70	74
I	81	89
J	30	33
K	55	51
L	40	50
M	63	68
N	85	83
O	70	77
P	62	69
Q	58	73
R	65	65
S	75	76
T	69	86

Maka Langkah -langkah yang perlu dilakukan:

H₀ : µ₁ = µ₂

H₁ : µ₁ ≠ µ₂

_1.        Menentukan Hipotesis yang digunakan, yaitu: 

_Ø    (Tidak terdapat perbedaan yang signifikan antara hasil belajar sebelum dan sesudah) 

_Ø    (Terdapat perbedaan yang signifikan hasil belajar sebelum dan sesudah) 

2.      Tetapkan titik kritis yaitu alfa 5%

3.      Tentukan daerah kritis, dengan db = n -1=20-1=19

4.      Tentukan t hitung

o    Memulai dengan menghitung D(selisih).

Sebelum (x1)	Sesudah (x2)	D = x1 - x2	D2
78	75	3	9
60	68	-8	64
55	59	-4	16
70	71	-1	1
57	63	-6	36
49	54	-5	25
68	66	2	4
70	74	-4	16
81	89	-8	64
30	33	-3	9
55	51	4	16
40	50	-10	100
63	68	-5	25
85	83	2	4
70	77	-7	49
62	69	-7	49
58	73	-15	225
65	65	0	0
75	76	-1	1
69	86	-17	289
Jumalah		-90	1002

o   Menghitung Standar Deviasi: 

• Menghitung t hitung

5. Lakukan uji signifikansi

Diketahui t tabel = 2,093. Sehingga |t hitung| > t table

Sehingga dapat disimpulkan: 

Ho ditolak , sehingga disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang signifikan antara hasil belajar statistika II sebelum dan sesudah diterapkannya Metode “ABG.

Penelitian eksperimen biasanya menggunakan dua sampel atau lebih sebagai objek penelitiannya, Sampel-sampel tersebut dibandingkan untuk melihat ada-tidaknya perbedaan setelah sampel-sampel tersebut diberi perlakuan berbeda. Untuk melihat ada-tidaknya perbedaan, dilakukan uji perbedaan dua rata-rata.

Uji hipotesis dua rata-rata digunakan untuk mengetahui ada atau tidak adanya perbedaan (kesamaan) rata antara dua buah data. Salah satu teknik analisis statistik untuk menguji hipotesis dua rata-rata. Pengujian ini merupakan uji statistik parametrik yang tentu saja harrus memenuhi asumsi.

1. Data berdistribusi normal
2. Data diplih secara acak
3. Data yang digunakan merupakan dat numerik (skala & interval)

Pertanyaanya bagaimana jika asumsi diatas tidak bisa terpenuhi? maka caranya yaitu mengganti metode dari parametrik menjadi non-parametrik. untuk metode ini belum dijelaskan atau belum dibuat. segeara akan dibuatkan untuk metode ini.

Hipotesis yang digunakan dalam Pengujian Perbedaan Rata‐rata Dua sampel saling bebas ada 3 hampir sama dengan yang lainnya yaitu:

1.      1Hipotesis dua arah yaitu rata-rata antar kelompok sama.

2.      Hipotesis satu arah menganggap kelompok 1 lebih tinggi rata-ratanya dibandingkan kelompok 2.

3.      Hipotesis satu arah yang menganggap kelompok 1 lebih kecil rata-ratanya dibandingkan kelompok 2.

Dalam Pengujian Perbedaan Rata‐rata Dua sampel saling bebas (Independent two sample ) ada 4 jenis mencari statistik uji dari Pengujian Perbedaan Rata‐rata Dua sampel saling bebas (Independent two sample):

Varians populasi diketahui:

                                      
Cara ini dapat digunakan apabila kita mengetahui nilai varians populasi itu sendiri.sehingga cara ini mungkin jarang digunakan karena untuk mengetahui nilai populasi. berikut cara mencari z-hitung:

apabila kita tidak mengetahui nilai populasi khususnya simpangan baku maka kita bisa menggunakan uji-t. dalam uji t ini dibagi menjadi tiga bagian. Varians populasi tidak diketahui, Ukuran sampel sama dan Varians diasumsikan sama. Adapun cara ini dapat digunakan jika ukuran sampel (n) sama dan juga varians homogen/sama. ini kadang diasumsikan untuk memecahkan masalah penelitian. berikut uji t yang digunakan:

dimana

 ^sx₁x₂ = 1/2 (S²_X1+ S²_X2)

Sx1x2 disebut juga pool standar deviasi yang merupakan penggabungan dua standar deviasi. pada t-hitung ini menggunakan degree of freedom dengan rumus 2n-2. Varians populasi tidak diketahui, Ukuran sampel berbeda dan varians diasumsikan sama. Walaupun varians homogen tapi ukuran sampel yang digunakan berbeda maka rumus di atas tidak dapat digunakan. sehingga perlu menggunakan t-hitung yang baru sebagai berikut:

dimana

selain itu degree of freedom pun berubah. degree of freedom untuk kasus ini yaitu n1+n2-2. Varians populasi tidak diketahui, Ukuran sampel sama/berbeda, Varians diasumsikan berbeda. Tes ini juga disebut dengan welch's test dan hanya digunakan apabila varians diasumsikan berbeda (baik ukuran sampel sama atau berbeda). berikut cara menghitung t statistik:

dimana

untuk menentukan degree of freedom menggunakan rumus sebagai berikut:

persamaan ini juga dikenal dengan Persamaan welch satterthwaite. Langkah-Langkah Uji Kesamaan Dua Rata-Rata (Usman & Akbar, 2009)

1.      Uji atau asumsikan bahwa data dipilih secara acak 

2.      Uji atau asumsikan bahwa data berdistribusi normal.

3.      tentukan apakah variansnya homogen atau hetero? 

4.      Tulis Ha dan H0 dalam bentuk kalimat 

5.      Tulis Ha dan H0 dalam bentuk statistik 

6.      Cari t-hitung atau z-hitung dengan rumus tertentu 

7.      Tentukan taraf signifikan (α) 

8.      Cari t-tabel atau z-tabel dengan pengujian dua pihak dimana df yang tergantung rumus.

9.      Tentukan kriteria pengujian, yaitu:  Jika –ttabel ≤ thitung ≤ +ttabel, maka H0 diterima 

10.  Bandingkan t-hitung dengan t-tabel 

11.  Buatlah kesimpulannya

Contohnya kasus:

Seorang pemilik kedai minuman mengadakan sebuah penelitian untuk mengetahui selera pemilihan minuman dengan rasa jeruk yang lebih diminati konsumennya. Sampel sebanyak 12 orang diambil dengan percobaan minuman dengan jeruk yang diperas dengan tangan sendiri, dan 10 orang dengan percobaan minuman jeruk yang diolah dari botol sirup dengan rasa jeruk. Sampel pertama memberikan penilaian dengan nilai rata – rata 93 dengan simpangan baku 6 dan sampel kedua dengan nilai rata – rata 60 dengan simpangan baku 7,5. Ujilah hipotesis kedua percobaan jenis minuman , dengan alternatif keduanya tidak sama dengan taraf nyata 10%.

Pembahasan:

Disini permasalahannya yaitu ingin membandingkan selera konsumen jeruk yang lebih dinikmati dengan tangan sendiri atau diolah dengan botol sirup. sehingga disini menggunakan perbedaan rata-rata dua sampel. untuk sampel pertama (n1)=12 dan untuk sampel kedua (n2)=10. sedangkan untuk simpangan baku berbeda yaitu untuk sampel 1 = 6 dan untuk sampel 2 = 7,5. sehingga dapat disimpulkan menggunakan cara varians tidak diketahui dan diasumsikan berbeda karena menggunakan nilai simpangan baku dari sampel.